第054章：数理争锋：智破天堑气自华

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　　　　    午时正（11：00）， 国文考试终了铃声响起，林怀安（郝楠仁）从容交卷，步出考场。

    盛夏的阳光白晃晃地刺眼，空气中弥漫着躁动与释放的气息。

    考生们如潮水般涌出礼堂，或兴奋地对答案，或懊恼地捶胸顿足，或疲惫地沉默不语。

    林怀安却避开喧闹的人群，寻了一处僻静的树荫。

    他从考篮里拿出母亲准备的烙饼夹酱肉和凉白开，细嚼慢咽。

    国文考试的顺利并未让他得意忘形，他深知，真正的硬仗、最能拉开差距的较量，在于下午的数学。

    他需要的是绝对的冷静与持续的专注。

    “大考如用兵，一鼓作气，再而衰，三而竭。”

    他想起《左传》名句。

    上午的“文战”已毕，气势正盛，绝不能因松懈而“衰竭”。

    他闭目眼神，在脑中快速回顾数学的核心公式与常用定理，不求甚解，只为保持思维的温热与活跃。

    这是一种高效的“心理预热”。

    【叮！国文科目“心流”状态完美收官，思维惯性保持良好！】

    【“飞轮效应”确认：首战告捷产生强大正向激励，惯性动力无损转化至数学科目！】

    【提示：数学为宿主优势学科，亦是决胜关键，请保持“精密思维”模式，避免“文学发散”惯性干扰。】

    系统的提示精准地将他的状态从“文思泉涌”切换至“数理精密”频道。

    未时正（13：30）， 下午进场的铃声响起。

    数学考场仍设在礼堂，但座位进行了调整！

    或许是校方为防作弊，亦或是为了让同水平学生更有竞争性，林怀安的座位被安排在了礼堂中前部，前后左右，竟多是身着 乙班 甚至个别 甲班 学生！

    他一入座，便感受到一股无形的、带着审视与竞争意味的气场。

    身旁一位甲班男生（正是上次周考时出言挑衅的赵姓学生）瞥了他一眼，嘴角微不可察地撇了一下，带着居高临下的优越感。

    前方一位乙班尖子生则正襟危坐，浑身散发着严阵以待的气息。

    林怀安心头先是一紧，随即坦然。

    “同场竞技，正好验我成色！”

    这种环境反而激起了他的斗志。

    他将准考证、笔墨尺规一一摆放整齐，意态沉静，如老僧入定，将周遭的干扰完全屏蔽。

    未时一刻（13：45）， 铃响，试卷下发。

    同样是毛边纸，竖排铅印，但扑面而来的是一股截然不同的、冷峻严谨的气息。

    中法中学采用的数学体系深受北平孔德中学影响，注重逻辑推理与综合应用，难度著称。

    试卷抬头印着：“北平私立中法中学高级中学二年级下学期数学期末试卷”。

    林怀安凝神静气，依旧先快速通览全卷。

    题型丰富，题量颇大，由浅入深：

    第一部分：基础题（共40分，考察知识掌握牢固度）

    一、 选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

    1.若 a>b>0，cbc B. a\/c>b\/c C. a+c>b+c D. a−c>b−c

    （林怀安应对：基础送分题，考察不等式性质。他迅速判断c为负，除法和乘法方向改变，秒选B。）

    2.在 △ABC中，∠A=60∘，AC=4，BC=23，则 AB=（ ）

    A. 2 B. 23 C. 4 D. 27

    （林怀安应对：余弦定理直接应用。心中默算 AB平方=AC平方+BC平方−2⋅AC⋅BC⋅cosA=16+12−2∗4∗2根号3∗0.5=28−8根号3，需估算。8根号3≈13.86，28−13.86=14.14，根号14.14≈3.76，接近4。

    但直觉判断可能为特殊值。

    尝试用正弦定理求角再算？

    耗时。

    暂标记，回头算。

    策略：先保证准确率，不纠结。）

    二、 填空题（本题共5空，每空4分，共20分）

    1.抛物线 y=2x平方−4x+1的顶点坐标为 (______, ______)。

    （林怀安应对：配方法或公式法。

    配方：y=2(x平方−2x)+1=2[(x−1)平方−1]+1=2(x−1)平方−1，顶点(1, -1)。

    快速填上。）

    第二部分：中档题（共40分，考察综合运用能力）

    三、 解答题（本题共3小题，分值分别为12分，14分，14分，共40分）

    1.（12分）已知数列 {an}满足 a1=1，an+1=2an+1(n∈N∗)。

    （1）求 a2,a3的值；

    （2）猜想数列 {an}的通项公式，并用数学归纳法证明。

    （林怀安应对：经典递推数列题。

    （1）易得 a2=3, a3=7。

    （2）观察 1,3,7，猜想 an=2n−1。

    数学归纳法步骤清晰：① n=1成立；② 假设 n=k成立，证 n=k+1成立。代入 ak+1=2ak+1=2(2k−1)+1=2k+1−1，成立。

    书写工整，逻辑严密。）

    2.（14分）如图，在四棱锥 P−ABCD中，底面 ABCD为正方形，PA⊥底面 ABCD，且 PA=AB=2。

    点 E为棱 PC的中点。

    （1）求证：BD⊥平面 PAC；

    （2）求二面角 E−BD−C的正切值。

    （林怀安应对：立体几何综合题。

    （1）易证：BD⊥AC（正方形），BD⊥PA（PA⊥底面），故 BD⊥面 PAC。

    （2）关键点：需找到二面角的平面角。

    （3）取BD中点O，连接EO，CO。

    则∠EOC为所求二面角的平面角。

    计算 EO（中位线，EO∥PA且 EO=21PA=1），OC（对角线一半，2），PA⊥OC？

    需证 OC⊥面 EBD？

    思路卡顿。

    标记，跳过。先保证会做的题拿满分。）

    第三部分：压轴题（共20分，考察思维深度与创新能力）

    四、 压轴题（本题20分）

    已知函数 f(x)=x立方−3x。

    （1）求函数 f(x)的单调区间与极值；

    （2）若关于 x的方程 f(x)=k有三个不等的实根，求实数 k的取值范围；

    （3）在（2）的条件下，设方程的三个实根分别为 x1,x2,x3，且 x1

    （林怀安应对： 看到此题，他目光一凝。此题综合性强，难度梯度明显，是拉开差距的关键！

    他迅速调动“函数与方程”思想，“数形结合” 方法跃然脑中。）

    通览全卷后，林怀安心中有数。

    他按顺序答题，稳扎稳打。

    基础题和中档题的前几问，他思路清晰，计算精准，书写流畅，如同精密仪器运行。

    遇到选择题第2题和中档题第2问的暂时卡顿，他毫不犹豫地跳过，并在草稿纸醒目位置做了标记。

    这是他的策略：绝不因小失大，确保有效得分。

    很快，他完成了前面所有题目，时间还剩约半小时。

    礼堂里已响起沙沙的翻卷子和轻声叹息，显然不少人被难题困住。

    他深吸一口气，将全部精力投向最后的压轴题。

    （1）求单调区间与极值。

    他笔走龙蛇：f′(x)=3x平方−3=3(x−1)(x+1)。令 f′(x)=0，得 x=±1。列表分析，得：f(x)在 (−∞,−1)和 (1,+∞)上单调递增，在 (−1,1)上单调递减。

    极大值 f(−1)=2，极小值 f(1)=−2。

    顺利完成。

    （2）方程 f(x)=k有三不等实根，求 k范围。

    “方程根的问题，转化为函数图像交点！”

    他立刻想到 “数形结合”。

    y=f(x)的图像是“N”型曲线，y=k是水平线。

    要有三个交点，水平线必须介于极大值与极小值之间！

    即 −2

    他严谨地在答案上注明：

    “当且仅当 k∈(−2,2)时，方程有三个不等的实根。”

    （3）求证：x1+x2+x3=0。

    这是本题难点，也是区分度所在！

    直接解方程求根再相加？

    根本行不通！

    三次方程求根公式复杂且不在要求范围内。

    “怎么办？”

    林怀安眉头微蹙，大脑飞速运转。

    他想起韦达定理！

    但韦达定理适用于所有根？

    对！

    对于一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0，三根之和 x1+x2+x3=−b\/a！

    他眼前一亮！

    方程 f(x)=k即 x3−3x−k=0！

    这里 a=1, b=0！

    所以 x1+x2+x3=−b\/a=0！

    竟然如此简洁！

    他几乎要拍案叫绝！

    关键在于将原方程进行移项，化为标准三次方程，并注意到二次项系数为0！

    这需要对韦达定理的深刻理解和敏锐的观察力！

    他强压心中激动，在答卷上工整书写：

    “证明：方程 f(x)=k可化为 x立方−3x−k=0。

    设其三根为 x1,x2,x3。

    由韦达定理，x1+x2+x3=−10=0。

    故结论成立。”

    逻辑严谨，无懈可击！

    一种智取的快感油然而生。

    这正是在乙班周考受挫后，他针对性加强“高阶数学思想”和“一题多解”训练的成果！

    申时正（15：30）， 终考铃声准时响起。

    林怀安从容搁笔。

    他再次检查了姓名、准考证号，并快速复查了之前标记的难题。

    对于选择题第2题，他静心重算，发现用正弦定理先求角B更直接，最终确定答案为 C. 4。

    对于立体几何第（2）问，他意识到关键在证明 OC⊥BD且 OC⊥EO（或通过建系法），但因时间所限，确保思路正确，步骤分到手即可。

    他双手将试卷奉上。

    监考的数学杨先生接过试卷，目光习惯性地扫过压轴题部分。

    当看到那简洁而有力的韦达定理证明时，他眼中闪过一丝毫不掩饰的激赏，甚至微微点了点头！

    林怀安坦然受之，施礼后转身离去。

    步出礼堂，下午的阳光依旧炽烈，但他心中却是一片清凉与畅快。

    数学一役，他不仅稳住了基本盘，更在压轴题上展现出了超越丙班、直逼乙班尖子生的思维高度！

    【叮！数学科目考试结束！】

    【评估：宿主发挥极其稳定，“精密思维”模式全程在线！“心流”状态成功迁移并保持！】

    【压轴题破解评估：S级（卓越）！

    成功运用“高阶数学思想”（韦达定理）巧妙解决难题，展现了强大的知识迁移与洞察力！】

    【“飞轮效应”再次得到强力助推！惯性巨大，势不可挡！】

    【预计数学成绩将对总排名产生决定性提升作用！

    请宿主再接再厉，迎接后续科目挑战！】

    系统的肯定如期而至。林怀安走在回宿舍的路上，脚步轻快。

    一日两场大战，文理双线告捷！

    这极大地提振了他的信心。

    明日，还有英语、物理的硬仗要打。

    但他此刻，已是 “胸有惊雷而面如平湖” ，充满了必胜的信念！